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最小费用最大流 修改的dijkstra + Ford-Fulksonff算法
修改的dijkstra其实和Johnson算法的思想是一致的。 一个求最小费用最大流的朴素算法是这样的： 1 求最小费用增广路 2 判断是否存在增广路，否的话算法终止。 3 增加增广路上边的流量 4 在增广路上添加必要的逆向负权边 5 goto 1 因为负权边的存在，求最小费用增广路就不可以用dijkstra算法。当然，我们可以用bellman-ford算法，可是这样的话求一次最短路的时间代价就是O(e*n)，e是边数，n是顶点数。代价大了点，如果能用dijkstra算法就好了。利用Johnson算法的思想，这是可以做到的。 第一次求最短路可以用dijkstra算法（如果一开始就有负权边，那就用bellman-ford算法，这没关系），求出源点到所有点的距离，嗯，我说的距离是指路径上边的费用之和的最小值。注意，要求出到所有点的距离，而不是求出到汇点的距离就完事了。 假设有一条边u->v，源点到u的距离是d[u]，到v的距离是d[v]，边的费用（权值）是w(u，v)。很显然，d[u]+w(u,v)>=d[v]，不然的话，你会发现一条更好的路径从源点到v。问题是，什么时候取等呢？当u->v在v的最优路径上，范围说小一点，当u->v在从源点到汇点的最优路径，即最小费用增广路上。 好的，如果u->v被你增载了，你要开始添负权边v->u了，权值取负，就是-w(u,v)。负权就是讨厌，是正的就好了，dijkstra算法就可以再用了。怎么办呢，把负权边加个权值，让它非负。要加多少呢，d[v]-d[u]。当然不能只加一条边，对所有边，无论原有的还是新添的，按这个规则加，构造一个新的图： 对边a->b，新的边权w'(a,b)=w(a,b)+d[a]-d[b] 现在来看看你的杰作： 对原来的边u->v, w'(u,v)=w(u,v)+d[u]-d[v]: 记得么d[u]+w(u,v)>=d[v], 所以 w'(u,v) >= 0 对新加的负权边v->u, w'(v,u)=w(v,u)+d[v]-d[u]=-w(u,v)+d[v]-d[u]: 记得么d[u]+w(u,v)==d[v]，这里可是取等号的，所以w'(v,u) == 0 哈哈，这下所有边又是非负的了。 可是，问题是，为啥不每个边加个足够大的正数，这样不是所有边也都是正的了么。仔细想想，边权为啥要为正，不就是为了求源点到汇点的最短路方便么，可是，都加大正数的话，你求出的最短路和原来图的最短路能一致么，不能，为啥，画个三角形，自己想想。可是，我的方法就能一致么，能。我证明给你看。 假设从源点s到汇点t有一条路径s->a->b->c->d
.->t,在原图中的路径长度为 w(s,a)+w(a,b)+w(b,c)++w(x,t) 在新图中的路径为 w'(s,a)+w'(a,b)+w'(b,c)+w'(x,t) 展开来就是 w(s,a)+d[a]-d[s]+w(a,b)+d[b]-d[a]+w(c,d)+d[d]-d[b]+.+w(x,t)+d[t]-d[x] 消阿消，d[a]和-d[a]，d[b]和-d[b]d[x]和-d[x]，剩下什么呢： w(s,a)+w(a,b)+w(b,c)++w(x,t)+d[t]-d[s] 噢，不就比原图中多d[t]-d[s]么（其实d[s]==0）。这可是对所有s到t的路径都成立的，既然所有路径，在新图中的权值都比在原图中的权值多了d[t]，那么，新图的最短路，也就对应原图的最短路，只不过路径长度多了d[t]，这不仅对t成立，对所有节点u都成立，只不过新图中到u的最短路长度比原图多了d[u]。 好，用dijkstra算法，第二次求出最短路。然后求出新的d’[u]，然后添加新的边，然后准备第三次的dijkstra算法。。。为什么第二次可以这样做，第三次还可以这样做，第三次的原图可能有很多负权边啊？我可没说过w(u,v)>=0这样的限制，所以，即使原图有负权边还是可以这样做的。 好了，第一次dijkstra算法（或者bellman-ford算法，如果有负权边的话，只用一次，不会成为瓶颈的），然后每次求最小增广路用一次修改的dijkstra算法。这个算法求最小费用最大流复杂度是O(m*n*n), m是最大流量，或者是求增广路次数的上界。最后，如果用这个算法来求最优匹配问题，复杂度是O(n^3)的。 /*
Created by mowenwen
~~~~ 2015.10.01
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <queue>
using namespace std;
#define maxn 10000+10
#define inf 0x7fffffff
int k, p;
int tot;
int head[maxn],flag[maxn],p1[maxn],p2[maxn],dis[maxn];
struct Edge
{
int to,next,c,f;
}edge[80010];
void addedge(int u,int v,int c,int f)
int i; //去重边
for(i = head[u];i != -1;i = edge[i].next)
{
if(edge[i].to == v)
break;
}
if(i != -1)
{
if(f < edge[i].f)
{
edge[i].f = f;
edge[i^1].f = -f;
}
return;
}
edge[tot].next = head[u];
edge[tot].to = v;
edge[tot].c = c;
edge[tot].f = f;
head[u] = tot ++;
edge[tot].next = head[v];
edge[tot].to = u;
edge[tot].c = 0;
edge[tot].f = -f;
head[v] = tot ++;
return;
}
bool spfa(int s, int t)
{
queue<int> q;
memset(flag, 0, sizeof(flag));
memset(p1, -1, sizeof(p1));
memset(p2, -1, sizeof(p2));
for(int i = 0;i <= t;i ++)
dis[i] = inf;
q.push(s);
dis[s] = 0;
flag[s] = 1;
while(!q.empty())
{
int u = q.front();
q.pop();
flag[u] = 0;
for(int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next)
{
if(edge[i].c)
{
int v = edge[i].to;
if(dis[v] > dis[u] + edge[i].f)
{
dis[v] = dis[u] + edge[i].f;
p1[v] = u; //当前点的前驱
p2[v] = i; //当前点所连的边
if(!flag[v])
{
q.push(v);
flag[v] = 1;
}
}
}
}
}
if(dis[t] == inf) return false;
else return true;
}
int min_cost_flow(int s,int t)
{
int ans_cost = 0;
int u, minn;
while(spfa(s, t))
{
u = t;
minn = inf;
while(p1[u] != -1)
{
minn = min(minn, edge[p2[u]].c);
u = p1[u];
}
//cout << minn <<endl;
u = t;
while(p1[u] != -1)
{
edge[p2[u]].c -= minn;
edge[p2[u] ^ 1].c += minn;
u = p1[u];
}
ans_cost += dis[t] * minn;
//cout << ans_cost<<endl;
}
return ans_cost;
}
void init()
{
memset(head, -1, sizeof(head));
tot = 0;
}
int main()
{
int t, n, m, u, v, w;
scanf("%d", &t);
while(t --)
{
scanf("%d%d", &n, &m);
for(int i = 0;i < m;i ++)
{
scanf("%d%d%d",&u, &v, &w);
addedge(u, v+n, 1, w);
}
for(int i = 1;i <= n;i ++)
{
addedge(0, i, 1, 0);
}
for(int i = n+1;i <= 2*n;i ++)
{
addedge(i, 2*n+1, 1, 0);
}
int ans = min_cost_flow(0, 2*n+1);
printf("%d\n", ans);
}
return 0;
}
第二种
#include<iostream>using namespace std;
int n,ans;
int cap[MAX][MAX];//容量
int pre[MAX];//用于保存增广路径
int cost[MAX][MAX];//花费
int dis[MAX];//源点到每个点（包括汇点）的距离
int que[MAX];//用于SPFA算法中的队列
bool vis[MAX];//访问标记数组
bool spfa()//源点为0，汇点为n
{
int i;
int head=0;//队头
int tail=1;//队尾
for(i=0;i<=n;i++)//每次都要初始化
{
dis[i]=inf;
vis[i]=false;
}
dis[0]=0;
que[0]=0;
vis[0]=true;
while(tail!=head)//循环队列
{
int u=que[head];
for(i=0;i<=n;i++)
{
if(cap[u][i]&&dis[i]>dis[u]+cost[u][i])//松弛
{
dis[i]=dis[u]+cost[u][i];
pre[i]=u;
if(!vis[i])
{
vis[i]=true;
que[tail++]=i;
if(tail==MAX)//tail的范围是:0~MAX-1
tail=0;
}
}
}
vis[u]=false;
head++;
if(head==MAX)
head=0;
}
if(dis[n]==inf)//因为n是汇点，所以可以用dis[n]是否等于inf来判断能否找到增广路
return false;
return true;//找到一条增广路pre[]，这条增广路还是最短的（花费最少的）
}
void mcmf()
{
int i;
int temp=inf;
for(i=n;i!=0;i=pre[i])
temp=min(temp,cap[pre[i]][i]);//找出增广路径中最小的残余流
for(i=n;i!=0;i=pre[i])//消灭那条残留网络
{
cap[pre[i]][i]-=temp;//流的反对称性:f(u,v)=-f(v,u)
cap[i][pre[i]]+=temp;
ans+=cost[pre[i]][i]*temp;//cost[][]记录的单位流量费用，必须得乘以流量。
}
}
int main()
{
//...
ans=0;
while(spfa())
mcmf();
//...
return 0;
}
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